Snart dags för betygsättning men innan det ett "nationellt prov". Citattecknen kommer av att det egentligen inte är ett officiellt nationellt prov utan bara ett från den nationella provbanken. Det är dock samma folk som gör det så det är så gott som samma sak. En skillnad är att läraren kan logga in i förväg och byta ut uppgifter så att provet passar bättre till just den inriktning som vi haft. I vårt fall har vi bytt ut ett par uppgifter men i stort sett är det samma prov som resten av Sverige har.
Hur skall man träna då? Först och främst tycker vi att alla noga skall gå igenom de första nio uppgifterna på senaste provet och se till att man kan dom. Jag tycker att många kan nöja sig med det och jobba med fler liknande problem istället för att gå vidare på de svåra uppgifterna. Men de som känner att man har grepp på de första nio gör förstås de svårare uppgifterna 10-13. Alla kommer dessutom att få en utskrift av ett gammalt provbanksprov att öva på.
De i klassen som har bra koll på kursen redan nu kan få vara med på ett extra prov nu på torsdag. Det blir som ett riktigt prov med tyst i klassen och jobba själv. Fast bara tre frågor, alla av mvg-karaktär. Tanken är sen att alla rättar och poängbedömer en kopia av sitt eget prov nästa lektion.
tisdag 10 maj 2011
måndag 2 maj 2011
Provet rättat
Sista gången tillbaka efter ett skollov, någonsin! Det hade ni inte tänkt på.
Hur som helst, provet är rättat och här kommer några inledande kommentarer.
För det första så kan man inte annat än erkänna att det var alldeles för mycket att göra på den tid ni fått. Mitt fel, men tanken var att jag ville fråga om allt det viktigaste. Kanske borde de sista fyra uppgifterna fått en egen provdag. Men trots allt en väldigt god insats på många håll, och det ligger naturligtvis ingen till last om ni inte hann med alla uppgifter. Men vi (som bestämmer) har ändå någon tanke att det skall finnas en extra möjlighet att visa vad man går för. Om det behövs, vill säga. Återkommer i frågan.
Angående dom som inte kunde tillräckligt mycket (eller inte var där) så kan man väl säga så mycket att ni definitivt har kapaciteten att ordna till det ändå. Man kan bara anta att det har varit en fråga om prioriteringar i studierna. I så fall är det ju dags att prioritera matten ett tag, och då kommer också kunskapen! Ni klarar detta om ni bara vill - det är jag övertygad om.
Ett tips kan vara att fokusera på de 9 första uppgifterna på det här provet, kan man dom så blir man godkänd. Kan man dom riktigt bra och med god förståelse så ligger ett överbetyg inom räckhåll. Lösningarna kommer att publiceras här och vi lärare kommer att repetera och visa.
På något sätt ser jag framför mig att gruppen delas upp lite grann. Ni som redan nu visat att betyget är hemma bör få chansen att fördjupa er och träna på mer avancerad förståelse, också det med lärarhjälp. Återkommer med ett förslag.
Hur som helst, provet är rättat och här kommer några inledande kommentarer.
För det första så kan man inte annat än erkänna att det var alldeles för mycket att göra på den tid ni fått. Mitt fel, men tanken var att jag ville fråga om allt det viktigaste. Kanske borde de sista fyra uppgifterna fått en egen provdag. Men trots allt en väldigt god insats på många håll, och det ligger naturligtvis ingen till last om ni inte hann med alla uppgifter. Men vi (som bestämmer) har ändå någon tanke att det skall finnas en extra möjlighet att visa vad man går för. Om det behövs, vill säga. Återkommer i frågan.
Angående dom som inte kunde tillräckligt mycket (eller inte var där) så kan man väl säga så mycket att ni definitivt har kapaciteten att ordna till det ändå. Man kan bara anta att det har varit en fråga om prioriteringar i studierna. I så fall är det ju dags att prioritera matten ett tag, och då kommer också kunskapen! Ni klarar detta om ni bara vill - det är jag övertygad om.
Ett tips kan vara att fokusera på de 9 första uppgifterna på det här provet, kan man dom så blir man godkänd. Kan man dom riktigt bra och med god förståelse så ligger ett överbetyg inom räckhåll. Lösningarna kommer att publiceras här och vi lärare kommer att repetera och visa.
På något sätt ser jag framför mig att gruppen delas upp lite grann. Ni som redan nu visat att betyget är hemma bör få chansen att fördjupa er och träna på mer avancerad förståelse, också det med lärarhjälp. Återkommer med ett förslag.
tisdag 19 april 2011
Kort sammanfattning vecka 13-15
Bloggen är äntligen tillbaka efter ett låååångt uppehåll!
Det som hänt är att klassen jobbat med Eulers stegmetod som är en numerisk lösningsmetod för vissa differentialekvationer. Den här typen av metoder är väldigt viktiga inom många områden även om just Eulers metod är den enklaste. Vanligt är att man använder mer avancerade varianter av den, till exempel Runge-Kutta 4, men som introduktion till detta område fungerar den utmärkt.
Sen har klassen också studerat olika typer av differentialekvationer och hur de fungerar som matematiska modeller för verkliga situationer. Det har varit:
Alla dessa ekvationer är av första ordningen, dvs högsta derivatan i ekvationen är förstaderivatan. Det är också vanligt med ekvationer av andra ordningen men eftersom vi fortfarande är i ett "introduktionsstadium" så gör det inte så mycket att vi väntar med dom.
Det som hänt är att klassen jobbat med Eulers stegmetod som är en numerisk lösningsmetod för vissa differentialekvationer. Den här typen av metoder är väldigt viktiga inom många områden även om just Eulers metod är den enklaste. Vanligt är att man använder mer avancerade varianter av den, till exempel Runge-Kutta 4, men som introduktion till detta område fungerar den utmärkt.
Sen har klassen också studerat olika typer av differentialekvationer och hur de fungerar som matematiska modeller för verkliga situationer. Det har varit:
- Enkla förändringsmodeller (sid 170-171)
- Blandningsproblem (172-173)
- Avsvalning (174)
- Fritt fall med luftmotstånd (175)
- Tillväxt med begränsningar (176-177)
Alla dessa ekvationer är av första ordningen, dvs högsta derivatan i ekvationen är förstaderivatan. Det är också vanligt med ekvationer av andra ordningen men eftersom vi fortfarande är i ett "introduktionsstadium" så gör det inte så mycket att vi väntar med dom.
onsdag 23 mars 2011
Föreläsning v12 - Riktningsfält
En "vanlig" ekvation, tex x2+3x-12=0 kan man lösa algebraiskt eller grafiskt/numeriskt. Att lösa den algebraiskt betyder att man så att säga räknar fram vad x måste vara, i det här fallet via kvadratkomplettering eller pq-formeln. Beroende på vilket typ av ekvation man har får man välja lämplig metod. En grafisk lösning kan innebära att man ritar upp grafen och "zoomar in" på nollställena. Det finns också andra numeriska metoder som ger en ungefärlig lösning, tex Newtons metod från CD-kursen.
Fördelen med en grafisk/numerisk lösning bland annat att man kan lösa ekvationer som är svåra eller omöjliga att lösa exakt algebraiskt. En nackdel är att lösningen blir ungefärlig och att det kan krävas många beräkningar för att få högre noggrannhet.
På liknade sätt är det för differentialekvationer. Det finns exaktaanalytiska lösningar och det finns grafiska/numeriska lösningar. I båda fallen får man välja metod beroende på vilken typ av diffekvation man har.
Den här veckan ägnar vi oss åt riktningsfält som är ett elegant sätt att illustrera differentalekvationer som också fungerar för att hitta lösningskurvor. Jag skall inte gå igenom något här men läs och öva i boken på sidorna 160-163. Prova också den här appleten där man kan rita upp olika riktningsfält och sen klicka där man vill ha ett villkor för en uppritning av en lösningskurva.
Att läsa
Boken sid 160-163
Att göra
Riktningsfältsapplet här.
Fördelen med en grafisk/numerisk lösning bland annat att man kan lösa ekvationer som är svåra eller omöjliga att lösa exakt algebraiskt. En nackdel är att lösningen blir ungefärlig och att det kan krävas många beräkningar för att få högre noggrannhet.
På liknade sätt är det för differentialekvationer. Det finns exaktaanalytiska lösningar och det finns grafiska/numeriska lösningar. I båda fallen får man välja metod beroende på vilken typ av diffekvation man har.
Den här veckan ägnar vi oss åt riktningsfält som är ett elegant sätt att illustrera differentalekvationer som också fungerar för att hitta lösningskurvor. Jag skall inte gå igenom något här men läs och öva i boken på sidorna 160-163. Prova också den här appleten där man kan rita upp olika riktningsfält och sen klicka där man vill ha ett villkor för en uppritning av en lösningskurva.
Att läsa
Boken sid 160-163
Att göra
Riktningsfältsapplet här.
torsdag 17 mars 2011
Föreläsning vecka 11 - Analytiska lösningar av DE
En differentialekvation kan kanske lösas analytiskt (exakt) om man har tur. Går inte det använder man någon numerisk metod, vilket vi kommer till nästa vecka. Men denna vecka ägnar vi oss åt exakta lösningsmetoder vilka det finns många olika av, beroende på vilken typ av DE man har.
Den här lektionen lär vi oss först hur man löser ekvationer av typen y' + ay = 0
(Denna ekvation är homogen, dvs högerledet är lika med noll om man samlar y och dess derivator till vänster. Om högerledet är en konstant eller en funkton av x kallas ekvationen för inhomogen. I den här kursen väljer vi att hoppa över exakta lösningar av den typen av ekvationer, men det står så fint så i boken för den som är intresserad.)
Vi går igenom hur man kommer fram till en allmän lösning men det är okej att kika direkt i formelsamlingen och plocka lösningen därifrån.
Den andra (och sista) typen av ekvationer vi tittar på är de som kallas separabla. För att lösa en sådan "separerar" man först variablerna, vilket innebär att man skrivet allt med y på ena sidan och allt med x på andra. I boken är detta beskrivet lite långrandigt och på två lite olika sätt. Jag rekommenderar att använda dy/dx som beteckning för y' för då kan man "räkna" med dy och dx som vanliga variabler när man separerar ekvationen. Därefter integrerar man båda sidorna för att få funktionen y som ju är lösningen till vår DE. Titta på genomräknade exempel i filmerna nedan eller i boken för att se hur det går till.
Först ett klipp från Matteskolan där läraren först diskuterar separabla ekvationer allmänt och sen visar ett exempel:
Sen två klipp från amerikanen PatrickJMT som också visar separabla:
Att läsa
Boken sid 148-151, 155-156
Den här lektionen lär vi oss först hur man löser ekvationer av typen y' + ay = 0
(Denna ekvation är homogen, dvs högerledet är lika med noll om man samlar y och dess derivator till vänster. Om högerledet är en konstant eller en funkton av x kallas ekvationen för inhomogen. I den här kursen väljer vi att hoppa över exakta lösningar av den typen av ekvationer, men det står så fint så i boken för den som är intresserad.)
Vi går igenom hur man kommer fram till en allmän lösning men det är okej att kika direkt i formelsamlingen och plocka lösningen därifrån.
Den andra (och sista) typen av ekvationer vi tittar på är de som kallas separabla. För att lösa en sådan "separerar" man först variablerna, vilket innebär att man skrivet allt med y på ena sidan och allt med x på andra. I boken är detta beskrivet lite långrandigt och på två lite olika sätt. Jag rekommenderar att använda dy/dx som beteckning för y' för då kan man "räkna" med dy och dx som vanliga variabler när man separerar ekvationen. Därefter integrerar man båda sidorna för att få funktionen y som ju är lösningen till vår DE. Titta på genomräknade exempel i filmerna nedan eller i boken för att se hur det går till.
Först ett klipp från Matteskolan där läraren först diskuterar separabla ekvationer allmänt och sen visar ett exempel:
Sen två klipp från amerikanen PatrickJMT som också visar separabla:
Att läsa
Boken sid 148-151, 155-156
torsdag 10 mars 2011
Laboration onsdag vecka 10
Så var vi igång igen efter lovet, och nu börjar vi med differentialekvationer, äntligen!
Dagens övning följer bokens inledande laboration på sidan 139. Vi låter varmt kaffe svalna i isvatten och registrerar tid och temperatur. När vi plottar data så ser vi (som förväntat kanske) att temperaturen sjunker på ett sätt som ser exponentiellt ut. (Har inte tillgång till våra data i skrivande stund men snart kommer en graf här.)
Newton studerade detta (inte med kaffe, eller ...) och fann att avsvalningen kan beskrivas med följande matematiska modell:
Förändringshastigheten av en kropps temperatur är proportionell mot skillnaden mellan kroppens temperatur och omgivningens temperatur.
För att kunna jobba vidare med det här vore det bra om vi kunde formulera oss på "matematiska" och skriva detta som en ekvation eller nåt. Ett viktigt tips är att om man hör ordet "proportionell mot" skall man genast tänka "y = kx". Till exempel
Detta kan vi rita upp i en graf - om vi känner till konstanterna A, k och C. Den här gången gjorde vi det genom ett par smarta resonemang som jag inte hinner berätta om nu. Kanske i en uppdaterad variant av detta inlägg.
Titta gärna på nedanstående film från "Matteskolan på Youtube". Där berättar en lärare om vad en differentalekvation är för något genom att först jämföra den men en "vanlig" ekvation. Sen visar han några exempel på hur man kan komma fram till en sådan ekvation och hur man kan kontrollera vad som är en lösning.
Att läsa
Boken sid
Dagens övning följer bokens inledande laboration på sidan 139. Vi låter varmt kaffe svalna i isvatten och registrerar tid och temperatur. När vi plottar data så ser vi (som förväntat kanske) att temperaturen sjunker på ett sätt som ser exponentiellt ut. (Har inte tillgång till våra data i skrivande stund men snart kommer en graf här.)
Newton studerade detta (inte med kaffe, eller ...) och fann att avsvalningen kan beskrivas med följande matematiska modell:
Förändringshastigheten av en kropps temperatur är proportionell mot skillnaden mellan kroppens temperatur och omgivningens temperatur.
För att kunna jobba vidare med det här vore det bra om vi kunde formulera oss på "matematiska" och skriva detta som en ekvation eller nåt. Ett viktigt tips är att om man hör ordet "proportionell mot" skall man genast tänka "y = kx". Till exempel
- "y är proportionell mot x" kan skrivas y = kx
- "ditt" är proportionell mot "datt" kan skrivas ditt = k * datt
- "T ' är proportionell mot skillnaden mellan T och To" kan skrivas
T ' = k(T - To)
Det sista exemplet är faktiskt Newtons avsvalningslag på matematiska även om man brukar skriva den med ett minustecken framför så att k är positiv. (Se till att du förstår varför den ser ut som den gör - fråga annars!)
T ' = - k(T - To)
Detta är en differentialekvation som karaktäriseras av att en funktions derivata ingår i den. I det här fallet är funktionen förstås temperaturen T och dess derivata är T '. (Här ingår alltså både T och T ')
Lösningen till en differentialekvation är själva funktionen. Dvs, om vi kan lösa ekvationen så får vi funktionen T och alltså vet vi vad som kommer att ske med temperaturen! Hur man löser diffekvationer kommer vi att ta upp inom kort men nu nöjer vi oss med att helt enkelt tala om vad lösningen är:
T = A e-kt + C
Detta kan vi rita upp i en graf - om vi känner till konstanterna A, k och C. Den här gången gjorde vi det genom ett par smarta resonemang som jag inte hinner berätta om nu. Kanske i en uppdaterad variant av detta inlägg.
Titta gärna på nedanstående film från "Matteskolan på Youtube". Där berättar en lärare om vad en differentalekvation är för något genom att först jämföra den men en "vanlig" ekvation. Sen visar han några exempel på hur man kan komma fram till en sådan ekvation och hur man kan kontrollera vad som är en lösning.
Att läsa
Boken sid
fredag 25 februari 2011
PROVET KLART!
Nu är ännu ett prov avklarat. Fortfarande svårt förstås, vi är ju bara halvvägs genom kursen men alla som gjort ett seriöst försök har garanterat lärt sig mycket. Jag vidhåller också med en dåres envishet att man inte skall låta sig nedslås av ett sämre resultat. Ta det bara som en liten tankeställare och uppmaning att kanske träna lite mer matematik framöver.
Provet hade tre uppgifter från kapitel 1 - viktigt att man kan dom!
Det allra viktigaste från kapitel 2 och det enda egentligen som vi kräver att ni skall hantera är rotationsvolymer. Då speciellt skivmetoden kring x-axeln. Det var uppgift 4 och 6 på provet, även om 6:ans viktigaste poäng var beviset. I övrigt på kapitel två har vi tittat på implicit derivering (uppgift 5) och förändringshastigheter och kedjeregeln (uppgift 7).
Uppgift 8 var en med lite allmänt mattetänk. Just den här grejen att se vad som är konstant och att baka in det i en annan konstant är en vanlig teknik i lite högre matteutbildning än gymnasiet.
Vi har gjort lösningsförslag till uppgifterna 4-8. Resten gör vi klart någon annan gång ....
Ni hittar det jag hittills gjort här och i menyn här till höger!
Trevligt lov!
Provet hade tre uppgifter från kapitel 1 - viktigt att man kan dom!
Det allra viktigaste från kapitel 2 och det enda egentligen som vi kräver att ni skall hantera är rotationsvolymer. Då speciellt skivmetoden kring x-axeln. Det var uppgift 4 och 6 på provet, även om 6:ans viktigaste poäng var beviset. I övrigt på kapitel två har vi tittat på implicit derivering (uppgift 5) och förändringshastigheter och kedjeregeln (uppgift 7).
Uppgift 8 var en med lite allmänt mattetänk. Just den här grejen att se vad som är konstant och att baka in det i en annan konstant är en vanlig teknik i lite högre matteutbildning än gymnasiet.
Vi har gjort lösningsförslag till uppgifterna 4-8. Resten gör vi klart någon annan gång ....
Ni hittar det jag hittills gjort här och i menyn här till höger!
Trevligt lov!
måndag 21 februari 2011
Fredagslektionen vecka 7
Vi visar hur man gör uppgift 21 på sidan 127, som handlar om att studera en funktion och ta reda på när den är avtagande. Tekniken är att derivera funktionen och göra en teckenstudie av derivatan, vilket är det vanligaste sättet. Detta är kunskaper från C-kursen men det är värt att repetera.
torsdag 17 februari 2011
PROVET vecka 8 - ta med egna anteckningar!
Jaha, dags för prov igen på torsdag. Som förra gången så ber jag er att inte stressa upp er för mycket. Jag vet att det är mycket nu med fysikprov och projektarbeten bland annat. Ta det som det är och plugga så mycket matte ni hinner med.
Det blir frågor även från kapitel 1 så titta gärna över förra provet och försök sätta er in i de frågor ni inte kunde då. Uppgifterna 1-5 är det viktigaste - kolla upp dom! Provet med lösningsförslag finns som länk här till höger.
En nyhet: Ni får ha med er egna anteckningar till provet. Max ett handskrivet A4 , gärna på båda sidorna om ni vill ha mer utrymme. OBS inga fotokopior alltså.
Det blir frågor även från kapitel 1 så titta gärna över förra provet och försök sätta er in i de frågor ni inte kunde då. Uppgifterna 1-5 är det viktigaste - kolla upp dom! Provet med lösningsförslag finns som länk här till höger.
En nyhet: Ni får ha med er egna anteckningar till provet. Max ett handskrivet A4 , gärna på båda sidorna om ni vill ha mer utrymme. OBS inga fotokopior alltså.
Föreläsning v7 - Om kedjeregeln och implicit derivering
Fört diskuterar vi vad det innebär att derivera med avseende på en viss variabel. Om exempelvis z är en funktion av både x och y så kan vi derivera z med avseende på x. Det vi gör då är att vi betraktar y som en konstant i deriveringen.
Sen tar vi upp kedjeregeln som är samma sak egentligen som reglerna om inre derivata. Skillnaden i det här kapitlet är egentligen bara att vi konsekvent använder beteckningen dy/dx för derivata.
Nästa grej är implicit definierade funktioner och hur man deriverar en sån med implicit derivering. I en implicit funktion har man inte "löst ut" en variabel, tex y. Exempelvis funktionen 2y2 -12x +18 = 0. Det man gör är att man deriverar båda sidorna av ekvationen och behåller likhetstecknet.
Att läsa
Boken sid 92-97
Att titta på
Först en film från Math-tv om kedjeregeln:
Sen en till från Math-tv om implicit derivering:
Och så har jag spelat in när jag gör uppgift 2159 med hjälp av implicit derivering:
Sen tar vi upp kedjeregeln som är samma sak egentligen som reglerna om inre derivata. Skillnaden i det här kapitlet är egentligen bara att vi konsekvent använder beteckningen dy/dx för derivata.
Nästa grej är implicit definierade funktioner och hur man deriverar en sån med implicit derivering. I en implicit funktion har man inte "löst ut" en variabel, tex y. Exempelvis funktionen 2y2 -12x +18 = 0. Det man gör är att man deriverar båda sidorna av ekvationen och behåller likhetstecknet.
Att läsa
Boken sid 92-97
Att titta på
Först en film från Math-tv om kedjeregeln:
Sen en till från Math-tv om implicit derivering:
Och så har jag spelat in när jag gör uppgift 2159 med hjälp av implicit derivering:
torsdag 10 februari 2011
Repetition integraler
Här är ett klipp från Math TV där Mr McKeague går igenom lite om integraler och visar några exempel. På fredagslektionen kommer jag att kommentera den här filmen.
Presented by MathTV.com |
Föreläsning v6 - Volymberäkning med hjälp av integraler
Lektionen handlar om hur man kan beräkna en volym med hjälp av en integral. "Metoden med cirkulära skivor" som vi använder är en av flera som presenteras i boken men vi nöjer oss med den. Det viktiga här är att alla sett en metod och lite om hur/varför den fungerar. Andra metoder är enligt samma princip även om approachen varierar.
För att sammanfatta väldigt kort så tittar vi på volymer som fås genom att rotera en kurva runt en av axlarna, till att börja med x-axeln. Vi delar in volymen i att antal delvolymer av cylindrisk form och summerar dessa. Eftersom cylinderformen är lite "fel" blir summan också lite fel. Detta fel minskar ju fler delvolymer vi delar in volymen i och det exakta värdet får vi i övergången till oändligt antal delvolymer.
Allt på ett väldigt liknande sätt som när vi beräknar en area!
Att studera
Boken sidan 110-116. (Resten av kap 2.4 kan hoppas över)
Filmklipp
Ett bra filmklipp från MathTV, kolla det!
En kille från mattecentrum beräknar en volym här.
För att sammanfatta väldigt kort så tittar vi på volymer som fås genom att rotera en kurva runt en av axlarna, till att börja med x-axeln. Vi delar in volymen i att antal delvolymer av cylindrisk form och summerar dessa. Eftersom cylinderformen är lite "fel" blir summan också lite fel. Detta fel minskar ju fler delvolymer vi delar in volymen i och det exakta värdet får vi i övergången till oändligt antal delvolymer.
Allt på ett väldigt liknande sätt som när vi beräknar en area!
Att studera
Boken sidan 110-116. (Resten av kap 2.4 kan hoppas över)
Filmklipp
Ett bra filmklipp från MathTV, kolla det!
Presented by MathTV.com |
En kille från mattecentrum beräknar en volym här.
lördag 5 februari 2011
måndag 31 januari 2011
Prov på fredag
På fredag är det redan prov - det blir kul!
Jag vet att de flesta kommer att känna att man inte har riktig koll på allt, det har ju inte riktigt funnits tid att smälta det nya. Särskilt den här veckans nya teori blir det svårt att hinna med att öva in ordentligt.
Men det gör inget!
Vi skall inte ta det här provet som ett betygsgrundande kursprov, utan snarare som en slags delmål, ett bra lärtillfälle och ett sätt för lärarna att se hur duktiga eleverna är. Vi lärare vet att det kommer hastigt på.
Provet består av några grundläggande frågor för att se att alla har det viktigaste med sig, men också ett par utmaningar där man kan visa en djupare förståelse etc.
Jag vet att de flesta kommer att känna att man inte har riktig koll på allt, det har ju inte riktigt funnits tid att smälta det nya. Särskilt den här veckans nya teori blir det svårt att hinna med att öva in ordentligt.
Men det gör inget!
Vi skall inte ta det här provet som ett betygsgrundande kursprov, utan snarare som en slags delmål, ett bra lärtillfälle och ett sätt för lärarna att se hur duktiga eleverna är. Vi lärare vet att det kommer hastigt på.
Provet består av några grundläggande frågor för att se att alla har det viktigaste med sig, men också ett par utmaningar där man kan visa en djupare förståelse etc.
Fredagslektionen vecka 4
Läxan gås igenom, det handlar om gubben Gauss.
Vi nämner algebrans fundamentalsats som säger att varje polynom med komplexa koefficienter har minst en komplex rot.
Men vad menas med komplexa koefficienter? I polynomet x2 + 7x -12 är koefficienterna 7 och -12. men nu tillåter alltså komplexa koefficienter som till exempel i polynomet x2 + (3-2i)x - 2i.
Vi visar också att fundamentalsatsen tillsammans med faktorsatsen (som vi pratar mer om i nästa föreläsning) ger att "ett polynom med komplexa koefficienter av grad n har exakt n komplexa rötter".
Till exempel har ett fjärdegradspolynom fyra komplexa rötter. (Några kan i och för sig vara lika.)
Vi nämner algebrans fundamentalsats som säger att varje polynom med komplexa koefficienter har minst en komplex rot.
Men vad menas med komplexa koefficienter? I polynomet x2 + 7x -12 är koefficienterna 7 och -12. men nu tillåter alltså komplexa koefficienter som till exempel i polynomet x2 + (3-2i)x - 2i.
Vi visar också att fundamentalsatsen tillsammans med faktorsatsen (som vi pratar mer om i nästa föreläsning) ger att "ett polynom med komplexa koefficienter av grad n har exakt n komplexa rötter".
Till exempel har ett fjärdegradspolynom fyra komplexa rötter. (Några kan i och för sig vara lika.)
torsdag 27 januari 2011
Föreläsning 3 - Potenser samt potensekvationer
Först ett tips på en webbtjänst som kan allt! (i alla fall inom matte ...)
www.wolframalpha.com eller för mobiler m.wolframalpha.com . Spara detta i dina genvägar(favoriter) så har du ett kraftfull beräkninghjälpmedel snabbt tillgängligt.
Vi visar hur enkelt det är att beräkna en potens av ett komplext tal om talet är skrivet på polär form. Detta kallas de Moivres formel och är en ganska enkel följd av kunskapen om multiplikation i polär form.
Om vi exempelvis vill upphöja ett komplext tal till 7 så skall vi upphöja talets belopp med 7 och multiplicera argumentet med 7, för att få resultatet.
Nu kan vi lösa ekvationer av typen zn = w, exempelvis z3 = 3 + 5i
Tekniken är att skriva båda sidorna av ekvationen på polär form. Eftersom de är lika förstår man att de måste ha samma belopp och samma argument. En beskrivning av hur det här går till finns på sidan 40 i boken.
Att läsa
Boken sid 38-41
www.wolframalpha.com eller för mobiler m.wolframalpha.com . Spara detta i dina genvägar(favoriter) så har du ett kraftfull beräkninghjälpmedel snabbt tillgängligt.
Vi visar hur enkelt det är att beräkna en potens av ett komplext tal om talet är skrivet på polär form. Detta kallas de Moivres formel och är en ganska enkel följd av kunskapen om multiplikation i polär form.
Om vi exempelvis vill upphöja ett komplext tal till 7 så skall vi upphöja talets belopp med 7 och multiplicera argumentet med 7, för att få resultatet.
Nu kan vi lösa ekvationer av typen zn = w, exempelvis z3 = 3 + 5i
Tekniken är att skriva båda sidorna av ekvationen på polär form. Eftersom de är lika förstår man att de måste ha samma belopp och samma argument. En beskrivning av hur det här går till finns på sidan 40 i boken.
Att läsa
Boken sid 38-41
söndag 23 januari 2011
Fredagslektionen vecka 3
Först en dugga, du hittar frågorna med lösningar här.
Sen läxan! De komplexa talens historia på sid 19 som handlar om en femtonhundratalsgubbe som funderade på frågor av typen:
Kan vi dela talet 10 i två delar så att produkten av de båda delarna blir 40?
Svaret blir ja! Men det finns inga reella tal som löser problemet så hur gör man då? Skriv först upp ekvationen
x(10-x) = 40 (Här måste du förstå hur ekvationen kommer till, fråga mig om du inte kommer på det!)
Utveckla ekvationen och lös den med hjälp av tex "pq-regeln" så får du lösningarna
x = 5 + rot(-15) och x = 5 - rot(-15)
På den tiden hade man inte börjat räkna med komplexa tal och man menade att roten ur negativa tal inte existerade och lösningarna ovan var meningslösa, men icke desto mindre uppfyller dom kravet om summan och produkten. På den vägen var det och på 1800-talet jobbade man med komplexa tal ungefär som vi gör i den här kursen.
Egen övningsräkning någon halvtimme.
Sen läxan! De komplexa talens historia på sid 19 som handlar om en femtonhundratalsgubbe som funderade på frågor av typen:
Kan vi dela talet 10 i två delar så att produkten av de båda delarna blir 40?
Svaret blir ja! Men det finns inga reella tal som löser problemet så hur gör man då? Skriv först upp ekvationen
x(10-x) = 40 (Här måste du förstå hur ekvationen kommer till, fråga mig om du inte kommer på det!)
Utveckla ekvationen och lös den med hjälp av tex "pq-regeln" så får du lösningarna
x = 5 + rot(-15) och x = 5 - rot(-15)
På den tiden hade man inte börjat räkna med komplexa tal och man menade att roten ur negativa tal inte existerade och lösningarna ovan var meningslösa, men icke desto mindre uppfyller dom kravet om summan och produkten. På den vägen var det och på 1800-talet jobbade man med komplexa tal ungefär som vi gör i den här kursen.
Egen övningsräkning någon halvtimme.
torsdag 20 januari 2011
Föreläsning 2 - Vektorer och polär form
Komplexa tal som vektorer
Det första vi pratar om är hur ett komplext tal kan betraktas som en vektor i sitt talplan. Gör man det kan man lätt se att addition och subtraktion av komplexa tal fungerar som "vanlig" vektoraddition resp -subtraktion. På samma sätt som man t ex gör när man adderar krafter (som ju är vektorer).
En vektor förresten är något som karaktäriseras med hjälp av sin längd och sin riktning. Exempelvis kraft och rörelsemängd kan representeras med vektorer. (Men energi till exempel är en skalär som inte har någon riktning.)
Avstånd i komplexa talplanet
Absolutbeloppet av ett reellt tal är "avståndet" till origo från talet. Till exempel |3| = 3 men också |-3| = 3. Samma sak gäller för alla komplexa tal, tex |3+4i| = 5. (Använd Pythagoras sats för att beräkna längden av talets vektor.)
Tillbaka till den reella talaxeln: Hur långt är det mellan två reella tal? Jo, absolutbeloppet av det ena talet minus det andra, dvs beloppet av skillnaden! Till exempel är avståndet mellan 8 och 5 lika med |8-5| = 3. Vi ser nu att beloppstecknet behövs eftersom avståndet mellan 5 och 8 måste vara detsamma: |5-8| = 3. Ytterligare ett reellt exempel: Avståndet mellan -5 och -8 =|-5 - (-8)| = 3.
Okej. Återigen samma resonemang för alla komplexa tal. Avståndet mellan två komplexa tal är beloppet av skillnaden.
Detta kan man utnyttja för att beskriva till exempel en cirkel i det komplexa talplanet.
Ekvationen | z - 4 | = 3 uppfylls alltså av alla de tal z som har avståndet 3 till talet 4. Alla dessa z ligger alltså på en cirkel runt 4.
Polär form
En komplext tal beskrivs ju som bekant av dess realdel samt dess imaginärdel. Men man kan också beskriva talet med hjälp av dess absolutbelopp samt vinkeln mellan talets vektor och reella axeln. denna vinkel kallar för talets argument. Att beskriva talet på det viset med belopp och argument kallas polär form, och skrivs som i figuren nedan.
Det kan finnas många olika skäl att skriva talen i polär form men ett är att det blir enkelt att multiplicera och dividera komplexa tal:
Det första vi pratar om är hur ett komplext tal kan betraktas som en vektor i sitt talplan. Gör man det kan man lätt se att addition och subtraktion av komplexa tal fungerar som "vanlig" vektoraddition resp -subtraktion. På samma sätt som man t ex gör när man adderar krafter (som ju är vektorer).
En vektor förresten är något som karaktäriseras med hjälp av sin längd och sin riktning. Exempelvis kraft och rörelsemängd kan representeras med vektorer. (Men energi till exempel är en skalär som inte har någon riktning.)
Avstånd i komplexa talplanet
Absolutbeloppet av ett reellt tal är "avståndet" till origo från talet. Till exempel |3| = 3 men också |-3| = 3. Samma sak gäller för alla komplexa tal, tex |3+4i| = 5. (Använd Pythagoras sats för att beräkna längden av talets vektor.)
Tillbaka till den reella talaxeln: Hur långt är det mellan två reella tal? Jo, absolutbeloppet av det ena talet minus det andra, dvs beloppet av skillnaden! Till exempel är avståndet mellan 8 och 5 lika med |8-5| = 3. Vi ser nu att beloppstecknet behövs eftersom avståndet mellan 5 och 8 måste vara detsamma: |5-8| = 3. Ytterligare ett reellt exempel: Avståndet mellan -5 och -8 =|-5 - (-8)| = 3.
Okej. Återigen samma resonemang för alla komplexa tal. Avståndet mellan två komplexa tal är beloppet av skillnaden.
Ekvationen | z - 4 | = 3 uppfylls alltså av alla de tal z som har avståndet 3 till talet 4. Alla dessa z ligger alltså på en cirkel runt 4.
Polär form
En komplext tal beskrivs ju som bekant av dess realdel samt dess imaginärdel. Men man kan också beskriva talet med hjälp av dess absolutbelopp samt vinkeln mellan talets vektor och reella axeln. denna vinkel kallar för talets argument. Att beskriva talet på det viset med belopp och argument kallas polär form, och skrivs som i figuren nedan.
- Vid multiplikation multiplicerar man beloppen och adderar argumenten.
- Vid division dividerar man beloppen och subtraherar argumenten.
fredag 14 januari 2011
Planeringen
Planeringen nu uppdaterad. (Finns till höger.)
Vänta lite med att skriva ut. Dels skall jag kolla med Susanne så att vi är överens, men jag skall också redigera lite för utskrift. Ni får den på papper på onsdag.
Vänta lite med att skriva ut. Dels skall jag kolla med Susanne så att vi är överens, men jag skall också redigera lite för utskrift. Ni får den på papper på onsdag.
Fredagslektionen vecka 2
Vi tittade på två av de filmer jag länkade till i förra inlägget. Det var nummer 6 och 7 i spellistan och de behandlar skälet till att man behöver komplexa tal.
Kort information om hur man kan räkna med komplexa tal med hjälp av en Texasräknare. Välj a+bi via MODE, sen kan du räkna på med hjälp av i-knappen långt ner på tangentbordet. Dessutom finns fler nyttiga funktioner via MATH-CPX. Fråga mig om du har en CASIO så hittar vi nog hur man gör.
En kort liten dugga och sen räkna på egen hand.
Vi hittade ett litet fel i facit i uppgift 1234.
Kort information om hur man kan räkna med komplexa tal med hjälp av en Texasräknare. Välj a+bi via MODE, sen kan du räkna på med hjälp av i-knappen långt ner på tangentbordet. Dessutom finns fler nyttiga funktioner via MATH-CPX. Fråga mig om du har en CASIO så hittar vi nog hur man gör.
En kort liten dugga och sen räkna på egen hand.
Vi hittade ett litet fel i facit i uppgift 1234.
torsdag 13 januari 2011
Fel i boken
Boken är riktigt bra men det verkar finnas ett antal fel. Vi samlar de fel vi hittar här.
onsdag 12 januari 2011
Föreläsning 1 - Inledning och räkning med komplexa tal
Första föreläsningen
Handlar lite om olika sorters tal och utvecklingen från heltalen, via de rationella talen till de reella. Vi visar att det kan vara lämpligt att utvidga talbegreppet ytterligare, till exempel för att kunna lösa ekvationen x2 = -1.
Ett komplext tal kan skrivas som a+bi, till exempel 3+4i och illustreras i ett komplext talplan. Vi behandlar begreppen realdel, imaginärdel, belopp och komplexa konjugatet.
Sist visar vi hur man räknar med de komplexa talen. Addition, subtraktion, multiplikation och division.
Anteckningarna från tavlan finns här.
Att läsa
Boken sidan 6-17
Att titta på
En amerikansk lärare som heter Derek Owens har gjort ett antal filmer där han introducerar komplexa tal på ett riktigt bra och tydligt sätt. Det är 11 filmer på vardera ca 8 minuter i spellistan så det tar ett tag att titta igenom men dom är bra som sagt. Särskilt för den som missade föreläsningen.
Du hittar filmerna här.
Ett komplext tal kan skrivas som a+bi, till exempel 3+4i och illustreras i ett komplext talplan. Vi behandlar begreppen realdel, imaginärdel, belopp och komplexa konjugatet.
Sist visar vi hur man räknar med de komplexa talen. Addition, subtraktion, multiplikation och division.
Anteckningarna från tavlan finns här.
Att läsa
Boken sidan 6-17
Att titta på
En amerikansk lärare som heter Derek Owens har gjort ett antal filmer där han introducerar komplexa tal på ett riktigt bra och tydligt sätt. Det är 11 filmer på vardera ca 8 minuter i spellistan så det tar ett tag att titta igenom men dom är bra som sagt. Särskilt för den som missade föreläsningen.
Du hittar filmerna här.
tisdag 11 januari 2011
Välkommen!
Välkomna till kursbloggen för matte E!
Här kommer det att dyka upp nyttiga kommentarer och tips för dig som studerar på kursen så titta in här lite då och då. Kommentarer med åsikter eller frågor är välkomna.
Lycka till med studierna hälsar lärarna
Andreas och Susanne
Här kommer det att dyka upp nyttiga kommentarer och tips för dig som studerar på kursen så titta in här lite då och då. Kommentarer med åsikter eller frågor är välkomna.
Lycka till med studierna hälsar lärarna
Andreas och Susanne
Prenumerera på:
Kommentarer (Atom)