En differentialekvation kan kanske lösas analytiskt (exakt) om man har tur. Går inte det använder man någon numerisk metod, vilket vi kommer till nästa vecka. Men denna vecka ägnar vi oss åt exakta lösningsmetoder vilka det finns många olika av, beroende på vilken typ av DE man har.
Den här lektionen lär vi oss först hur man löser ekvationer av typen y' + ay = 0
(Denna ekvation är homogen, dvs högerledet är lika med noll om man samlar y och dess derivator till vänster. Om högerledet är en konstant eller en funkton av x kallas ekvationen för inhomogen. I den här kursen väljer vi att hoppa över exakta lösningar av den typen av ekvationer, men det står så fint så i boken för den som är intresserad.)
Vi går igenom hur man kommer fram till en allmän lösning men det är okej att kika direkt i formelsamlingen och plocka lösningen därifrån.
Den andra (och sista) typen av ekvationer vi tittar på är de som kallas separabla. För att lösa en sådan "separerar" man först variablerna, vilket innebär att man skrivet allt med y på ena sidan och allt med x på andra. I boken är detta beskrivet lite långrandigt och på två lite olika sätt. Jag rekommenderar att använda dy/dx som beteckning för y' för då kan man "räkna" med dy och dx som vanliga variabler när man separerar ekvationen. Därefter integrerar man båda sidorna för att få funktionen y som ju är lösningen till vår DE. Titta på genomräknade exempel i filmerna nedan eller i boken för att se hur det går till.
Först ett klipp från Matteskolan där läraren först diskuterar separabla ekvationer allmänt och sen visar ett exempel:
Sen två klipp från amerikanen PatrickJMT som också visar separabla:
Att läsa
Boken sid 148-151, 155-156
Inga kommentarer:
Skicka en kommentar