Det första vi pratar om är hur ett komplext tal kan betraktas som en vektor i sitt talplan. Gör man det kan man lätt se att addition och subtraktion av komplexa tal fungerar som "vanlig" vektoraddition resp -subtraktion. På samma sätt som man t ex gör när man adderar krafter (som ju är vektorer).
En vektor förresten är något som karaktäriseras med hjälp av sin längd och sin riktning. Exempelvis kraft och rörelsemängd kan representeras med vektorer. (Men energi till exempel är en skalär som inte har någon riktning.)
Avstånd i komplexa talplanet
Absolutbeloppet av ett reellt tal är "avståndet" till origo från talet. Till exempel |3| = 3 men också |-3| = 3. Samma sak gäller för alla komplexa tal, tex |3+4i| = 5. (Använd Pythagoras sats för att beräkna längden av talets vektor.)
Tillbaka till den reella talaxeln: Hur långt är det mellan två reella tal? Jo, absolutbeloppet av det ena talet minus det andra, dvs beloppet av skillnaden! Till exempel är avståndet mellan 8 och 5 lika med |8-5| = 3. Vi ser nu att beloppstecknet behövs eftersom avståndet mellan 5 och 8 måste vara detsamma: |5-8| = 3. Ytterligare ett reellt exempel: Avståndet mellan -5 och -8 =|-5 - (-8)| = 3.
Okej. Återigen samma resonemang för alla komplexa tal. Avståndet mellan två komplexa tal är beloppet av skillnaden.
Ekvationen | z - 4 | = 3 uppfylls alltså av alla de tal z som har avståndet 3 till talet 4. Alla dessa z ligger alltså på en cirkel runt 4.
Polär form
En komplext tal beskrivs ju som bekant av dess realdel samt dess imaginärdel. Men man kan också beskriva talet med hjälp av dess absolutbelopp samt vinkeln mellan talets vektor och reella axeln. denna vinkel kallar för talets argument. Att beskriva talet på det viset med belopp och argument kallas polär form, och skrivs som i figuren nedan.
- Vid multiplikation multiplicerar man beloppen och adderar argumenten.
- Vid division dividerar man beloppen och subtraherar argumenten.
Inga kommentarer:
Skicka en kommentar