På fredag är det redan prov - det blir kul!
Jag vet att de flesta kommer att känna att man inte har riktig koll på allt, det har ju inte riktigt funnits tid att smälta det nya. Särskilt den här veckans nya teori blir det svårt att hinna med att öva in ordentligt.
Men det gör inget!
Vi skall inte ta det här provet som ett betygsgrundande kursprov, utan snarare som en slags delmål, ett bra lärtillfälle och ett sätt för lärarna att se hur duktiga eleverna är. Vi lärare vet att det kommer hastigt på.
Provet består av några grundläggande frågor för att se att alla har det viktigaste med sig, men också ett par utmaningar där man kan visa en djupare förståelse etc.
måndag 31 januari 2011
Fredagslektionen vecka 4
Läxan gås igenom, det handlar om gubben Gauss.
Vi nämner algebrans fundamentalsats som säger att varje polynom med komplexa koefficienter har minst en komplex rot.
Men vad menas med komplexa koefficienter? I polynomet x2 + 7x -12 är koefficienterna 7 och -12. men nu tillåter alltså komplexa koefficienter som till exempel i polynomet x2 + (3-2i)x - 2i.
Vi visar också att fundamentalsatsen tillsammans med faktorsatsen (som vi pratar mer om i nästa föreläsning) ger att "ett polynom med komplexa koefficienter av grad n har exakt n komplexa rötter".
Till exempel har ett fjärdegradspolynom fyra komplexa rötter. (Några kan i och för sig vara lika.)
Vi nämner algebrans fundamentalsats som säger att varje polynom med komplexa koefficienter har minst en komplex rot.
Men vad menas med komplexa koefficienter? I polynomet x2 + 7x -12 är koefficienterna 7 och -12. men nu tillåter alltså komplexa koefficienter som till exempel i polynomet x2 + (3-2i)x - 2i.
Vi visar också att fundamentalsatsen tillsammans med faktorsatsen (som vi pratar mer om i nästa föreläsning) ger att "ett polynom med komplexa koefficienter av grad n har exakt n komplexa rötter".
Till exempel har ett fjärdegradspolynom fyra komplexa rötter. (Några kan i och för sig vara lika.)
torsdag 27 januari 2011
Föreläsning 3 - Potenser samt potensekvationer
Först ett tips på en webbtjänst som kan allt! (i alla fall inom matte ...)
www.wolframalpha.com eller för mobiler m.wolframalpha.com . Spara detta i dina genvägar(favoriter) så har du ett kraftfull beräkninghjälpmedel snabbt tillgängligt.
Vi visar hur enkelt det är att beräkna en potens av ett komplext tal om talet är skrivet på polär form. Detta kallas de Moivres formel och är en ganska enkel följd av kunskapen om multiplikation i polär form.
Om vi exempelvis vill upphöja ett komplext tal till 7 så skall vi upphöja talets belopp med 7 och multiplicera argumentet med 7, för att få resultatet.
Nu kan vi lösa ekvationer av typen zn = w, exempelvis z3 = 3 + 5i
Tekniken är att skriva båda sidorna av ekvationen på polär form. Eftersom de är lika förstår man att de måste ha samma belopp och samma argument. En beskrivning av hur det här går till finns på sidan 40 i boken.
Att läsa
Boken sid 38-41
www.wolframalpha.com eller för mobiler m.wolframalpha.com . Spara detta i dina genvägar(favoriter) så har du ett kraftfull beräkninghjälpmedel snabbt tillgängligt.
Vi visar hur enkelt det är att beräkna en potens av ett komplext tal om talet är skrivet på polär form. Detta kallas de Moivres formel och är en ganska enkel följd av kunskapen om multiplikation i polär form.
Om vi exempelvis vill upphöja ett komplext tal till 7 så skall vi upphöja talets belopp med 7 och multiplicera argumentet med 7, för att få resultatet.
Nu kan vi lösa ekvationer av typen zn = w, exempelvis z3 = 3 + 5i
Tekniken är att skriva båda sidorna av ekvationen på polär form. Eftersom de är lika förstår man att de måste ha samma belopp och samma argument. En beskrivning av hur det här går till finns på sidan 40 i boken.
Att läsa
Boken sid 38-41
söndag 23 januari 2011
Fredagslektionen vecka 3
Först en dugga, du hittar frågorna med lösningar här.
Sen läxan! De komplexa talens historia på sid 19 som handlar om en femtonhundratalsgubbe som funderade på frågor av typen:
Kan vi dela talet 10 i två delar så att produkten av de båda delarna blir 40?
Svaret blir ja! Men det finns inga reella tal som löser problemet så hur gör man då? Skriv först upp ekvationen
x(10-x) = 40 (Här måste du förstå hur ekvationen kommer till, fråga mig om du inte kommer på det!)
Utveckla ekvationen och lös den med hjälp av tex "pq-regeln" så får du lösningarna
x = 5 + rot(-15) och x = 5 - rot(-15)
På den tiden hade man inte börjat räkna med komplexa tal och man menade att roten ur negativa tal inte existerade och lösningarna ovan var meningslösa, men icke desto mindre uppfyller dom kravet om summan och produkten. På den vägen var det och på 1800-talet jobbade man med komplexa tal ungefär som vi gör i den här kursen.
Egen övningsräkning någon halvtimme.
Sen läxan! De komplexa talens historia på sid 19 som handlar om en femtonhundratalsgubbe som funderade på frågor av typen:
Kan vi dela talet 10 i två delar så att produkten av de båda delarna blir 40?
Svaret blir ja! Men det finns inga reella tal som löser problemet så hur gör man då? Skriv först upp ekvationen
x(10-x) = 40 (Här måste du förstå hur ekvationen kommer till, fråga mig om du inte kommer på det!)
Utveckla ekvationen och lös den med hjälp av tex "pq-regeln" så får du lösningarna
x = 5 + rot(-15) och x = 5 - rot(-15)
På den tiden hade man inte börjat räkna med komplexa tal och man menade att roten ur negativa tal inte existerade och lösningarna ovan var meningslösa, men icke desto mindre uppfyller dom kravet om summan och produkten. På den vägen var det och på 1800-talet jobbade man med komplexa tal ungefär som vi gör i den här kursen.
Egen övningsräkning någon halvtimme.
torsdag 20 januari 2011
Föreläsning 2 - Vektorer och polär form
Komplexa tal som vektorer
Det första vi pratar om är hur ett komplext tal kan betraktas som en vektor i sitt talplan. Gör man det kan man lätt se att addition och subtraktion av komplexa tal fungerar som "vanlig" vektoraddition resp -subtraktion. På samma sätt som man t ex gör när man adderar krafter (som ju är vektorer).
En vektor förresten är något som karaktäriseras med hjälp av sin längd och sin riktning. Exempelvis kraft och rörelsemängd kan representeras med vektorer. (Men energi till exempel är en skalär som inte har någon riktning.)
Avstånd i komplexa talplanet
Absolutbeloppet av ett reellt tal är "avståndet" till origo från talet. Till exempel |3| = 3 men också |-3| = 3. Samma sak gäller för alla komplexa tal, tex |3+4i| = 5. (Använd Pythagoras sats för att beräkna längden av talets vektor.)
Tillbaka till den reella talaxeln: Hur långt är det mellan två reella tal? Jo, absolutbeloppet av det ena talet minus det andra, dvs beloppet av skillnaden! Till exempel är avståndet mellan 8 och 5 lika med |8-5| = 3. Vi ser nu att beloppstecknet behövs eftersom avståndet mellan 5 och 8 måste vara detsamma: |5-8| = 3. Ytterligare ett reellt exempel: Avståndet mellan -5 och -8 =|-5 - (-8)| = 3.
Okej. Återigen samma resonemang för alla komplexa tal. Avståndet mellan två komplexa tal är beloppet av skillnaden.
Detta kan man utnyttja för att beskriva till exempel en cirkel i det komplexa talplanet.
Ekvationen | z - 4 | = 3 uppfylls alltså av alla de tal z som har avståndet 3 till talet 4. Alla dessa z ligger alltså på en cirkel runt 4.
Polär form
En komplext tal beskrivs ju som bekant av dess realdel samt dess imaginärdel. Men man kan också beskriva talet med hjälp av dess absolutbelopp samt vinkeln mellan talets vektor och reella axeln. denna vinkel kallar för talets argument. Att beskriva talet på det viset med belopp och argument kallas polär form, och skrivs som i figuren nedan.
Det kan finnas många olika skäl att skriva talen i polär form men ett är att det blir enkelt att multiplicera och dividera komplexa tal:
Det första vi pratar om är hur ett komplext tal kan betraktas som en vektor i sitt talplan. Gör man det kan man lätt se att addition och subtraktion av komplexa tal fungerar som "vanlig" vektoraddition resp -subtraktion. På samma sätt som man t ex gör när man adderar krafter (som ju är vektorer).
En vektor förresten är något som karaktäriseras med hjälp av sin längd och sin riktning. Exempelvis kraft och rörelsemängd kan representeras med vektorer. (Men energi till exempel är en skalär som inte har någon riktning.)
Avstånd i komplexa talplanet
Absolutbeloppet av ett reellt tal är "avståndet" till origo från talet. Till exempel |3| = 3 men också |-3| = 3. Samma sak gäller för alla komplexa tal, tex |3+4i| = 5. (Använd Pythagoras sats för att beräkna längden av talets vektor.)
Tillbaka till den reella talaxeln: Hur långt är det mellan två reella tal? Jo, absolutbeloppet av det ena talet minus det andra, dvs beloppet av skillnaden! Till exempel är avståndet mellan 8 och 5 lika med |8-5| = 3. Vi ser nu att beloppstecknet behövs eftersom avståndet mellan 5 och 8 måste vara detsamma: |5-8| = 3. Ytterligare ett reellt exempel: Avståndet mellan -5 och -8 =|-5 - (-8)| = 3.
Okej. Återigen samma resonemang för alla komplexa tal. Avståndet mellan två komplexa tal är beloppet av skillnaden.
Ekvationen | z - 4 | = 3 uppfylls alltså av alla de tal z som har avståndet 3 till talet 4. Alla dessa z ligger alltså på en cirkel runt 4.
Polär form
En komplext tal beskrivs ju som bekant av dess realdel samt dess imaginärdel. Men man kan också beskriva talet med hjälp av dess absolutbelopp samt vinkeln mellan talets vektor och reella axeln. denna vinkel kallar för talets argument. Att beskriva talet på det viset med belopp och argument kallas polär form, och skrivs som i figuren nedan.
- Vid multiplikation multiplicerar man beloppen och adderar argumenten.
- Vid division dividerar man beloppen och subtraherar argumenten.
fredag 14 januari 2011
Planeringen
Planeringen nu uppdaterad. (Finns till höger.)
Vänta lite med att skriva ut. Dels skall jag kolla med Susanne så att vi är överens, men jag skall också redigera lite för utskrift. Ni får den på papper på onsdag.
Vänta lite med att skriva ut. Dels skall jag kolla med Susanne så att vi är överens, men jag skall också redigera lite för utskrift. Ni får den på papper på onsdag.
Fredagslektionen vecka 2
Vi tittade på två av de filmer jag länkade till i förra inlägget. Det var nummer 6 och 7 i spellistan och de behandlar skälet till att man behöver komplexa tal.
Kort information om hur man kan räkna med komplexa tal med hjälp av en Texasräknare. Välj a+bi via MODE, sen kan du räkna på med hjälp av i-knappen långt ner på tangentbordet. Dessutom finns fler nyttiga funktioner via MATH-CPX. Fråga mig om du har en CASIO så hittar vi nog hur man gör.
En kort liten dugga och sen räkna på egen hand.
Vi hittade ett litet fel i facit i uppgift 1234.
Kort information om hur man kan räkna med komplexa tal med hjälp av en Texasräknare. Välj a+bi via MODE, sen kan du räkna på med hjälp av i-knappen långt ner på tangentbordet. Dessutom finns fler nyttiga funktioner via MATH-CPX. Fråga mig om du har en CASIO så hittar vi nog hur man gör.
En kort liten dugga och sen räkna på egen hand.
Vi hittade ett litet fel i facit i uppgift 1234.
torsdag 13 januari 2011
Fel i boken
Boken är riktigt bra men det verkar finnas ett antal fel. Vi samlar de fel vi hittar här.
onsdag 12 januari 2011
Föreläsning 1 - Inledning och räkning med komplexa tal
Första föreläsningen
Handlar lite om olika sorters tal och utvecklingen från heltalen, via de rationella talen till de reella. Vi visar att det kan vara lämpligt att utvidga talbegreppet ytterligare, till exempel för att kunna lösa ekvationen x2 = -1.
Ett komplext tal kan skrivas som a+bi, till exempel 3+4i och illustreras i ett komplext talplan. Vi behandlar begreppen realdel, imaginärdel, belopp och komplexa konjugatet.
Sist visar vi hur man räknar med de komplexa talen. Addition, subtraktion, multiplikation och division.
Anteckningarna från tavlan finns här.
Att läsa
Boken sidan 6-17
Att titta på
En amerikansk lärare som heter Derek Owens har gjort ett antal filmer där han introducerar komplexa tal på ett riktigt bra och tydligt sätt. Det är 11 filmer på vardera ca 8 minuter i spellistan så det tar ett tag att titta igenom men dom är bra som sagt. Särskilt för den som missade föreläsningen.
Du hittar filmerna här.
Ett komplext tal kan skrivas som a+bi, till exempel 3+4i och illustreras i ett komplext talplan. Vi behandlar begreppen realdel, imaginärdel, belopp och komplexa konjugatet.
Sist visar vi hur man räknar med de komplexa talen. Addition, subtraktion, multiplikation och division.
Anteckningarna från tavlan finns här.
Att läsa
Boken sidan 6-17
Att titta på
En amerikansk lärare som heter Derek Owens har gjort ett antal filmer där han introducerar komplexa tal på ett riktigt bra och tydligt sätt. Det är 11 filmer på vardera ca 8 minuter i spellistan så det tar ett tag att titta igenom men dom är bra som sagt. Särskilt för den som missade föreläsningen.
Du hittar filmerna här.
tisdag 11 januari 2011
Välkommen!
Välkomna till kursbloggen för matte E!
Här kommer det att dyka upp nyttiga kommentarer och tips för dig som studerar på kursen så titta in här lite då och då. Kommentarer med åsikter eller frågor är välkomna.
Lycka till med studierna hälsar lärarna
Andreas och Susanne
Här kommer det att dyka upp nyttiga kommentarer och tips för dig som studerar på kursen så titta in här lite då och då. Kommentarer med åsikter eller frågor är välkomna.
Lycka till med studierna hälsar lärarna
Andreas och Susanne
Prenumerera på:
Kommentarer (Atom)