Snart dags för betygsättning men innan det ett "nationellt prov". Citattecknen kommer av att det egentligen inte är ett officiellt nationellt prov utan bara ett från den nationella provbanken. Det är dock samma folk som gör det så det är så gott som samma sak. En skillnad är att läraren kan logga in i förväg och byta ut uppgifter så att provet passar bättre till just den inriktning som vi haft. I vårt fall har vi bytt ut ett par uppgifter men i stort sett är det samma prov som resten av Sverige har.
Hur skall man träna då? Först och främst tycker vi att alla noga skall gå igenom de första nio uppgifterna på senaste provet och se till att man kan dom. Jag tycker att många kan nöja sig med det och jobba med fler liknande problem istället för att gå vidare på de svåra uppgifterna. Men de som känner att man har grepp på de första nio gör förstås de svårare uppgifterna 10-13. Alla kommer dessutom att få en utskrift av ett gammalt provbanksprov att öva på.
De i klassen som har bra koll på kursen redan nu kan få vara med på ett extra prov nu på torsdag. Det blir som ett riktigt prov med tyst i klassen och jobba själv. Fast bara tre frågor, alla av mvg-karaktär. Tanken är sen att alla rättar och poängbedömer en kopia av sitt eget prov nästa lektion.
tisdag 10 maj 2011
måndag 2 maj 2011
Provet rättat
Sista gången tillbaka efter ett skollov, någonsin! Det hade ni inte tänkt på.
Hur som helst, provet är rättat och här kommer några inledande kommentarer.
För det första så kan man inte annat än erkänna att det var alldeles för mycket att göra på den tid ni fått. Mitt fel, men tanken var att jag ville fråga om allt det viktigaste. Kanske borde de sista fyra uppgifterna fått en egen provdag. Men trots allt en väldigt god insats på många håll, och det ligger naturligtvis ingen till last om ni inte hann med alla uppgifter. Men vi (som bestämmer) har ändå någon tanke att det skall finnas en extra möjlighet att visa vad man går för. Om det behövs, vill säga. Återkommer i frågan.
Angående dom som inte kunde tillräckligt mycket (eller inte var där) så kan man väl säga så mycket att ni definitivt har kapaciteten att ordna till det ändå. Man kan bara anta att det har varit en fråga om prioriteringar i studierna. I så fall är det ju dags att prioritera matten ett tag, och då kommer också kunskapen! Ni klarar detta om ni bara vill - det är jag övertygad om.
Ett tips kan vara att fokusera på de 9 första uppgifterna på det här provet, kan man dom så blir man godkänd. Kan man dom riktigt bra och med god förståelse så ligger ett överbetyg inom räckhåll. Lösningarna kommer att publiceras här och vi lärare kommer att repetera och visa.
På något sätt ser jag framför mig att gruppen delas upp lite grann. Ni som redan nu visat att betyget är hemma bör få chansen att fördjupa er och träna på mer avancerad förståelse, också det med lärarhjälp. Återkommer med ett förslag.
Hur som helst, provet är rättat och här kommer några inledande kommentarer.
För det första så kan man inte annat än erkänna att det var alldeles för mycket att göra på den tid ni fått. Mitt fel, men tanken var att jag ville fråga om allt det viktigaste. Kanske borde de sista fyra uppgifterna fått en egen provdag. Men trots allt en väldigt god insats på många håll, och det ligger naturligtvis ingen till last om ni inte hann med alla uppgifter. Men vi (som bestämmer) har ändå någon tanke att det skall finnas en extra möjlighet att visa vad man går för. Om det behövs, vill säga. Återkommer i frågan.
Angående dom som inte kunde tillräckligt mycket (eller inte var där) så kan man väl säga så mycket att ni definitivt har kapaciteten att ordna till det ändå. Man kan bara anta att det har varit en fråga om prioriteringar i studierna. I så fall är det ju dags att prioritera matten ett tag, och då kommer också kunskapen! Ni klarar detta om ni bara vill - det är jag övertygad om.
Ett tips kan vara att fokusera på de 9 första uppgifterna på det här provet, kan man dom så blir man godkänd. Kan man dom riktigt bra och med god förståelse så ligger ett överbetyg inom räckhåll. Lösningarna kommer att publiceras här och vi lärare kommer att repetera och visa.
På något sätt ser jag framför mig att gruppen delas upp lite grann. Ni som redan nu visat att betyget är hemma bör få chansen att fördjupa er och träna på mer avancerad förståelse, också det med lärarhjälp. Återkommer med ett förslag.
tisdag 19 april 2011
Kort sammanfattning vecka 13-15
Bloggen är äntligen tillbaka efter ett låååångt uppehåll!
Det som hänt är att klassen jobbat med Eulers stegmetod som är en numerisk lösningsmetod för vissa differentialekvationer. Den här typen av metoder är väldigt viktiga inom många områden även om just Eulers metod är den enklaste. Vanligt är att man använder mer avancerade varianter av den, till exempel Runge-Kutta 4, men som introduktion till detta område fungerar den utmärkt.
Sen har klassen också studerat olika typer av differentialekvationer och hur de fungerar som matematiska modeller för verkliga situationer. Det har varit:
Alla dessa ekvationer är av första ordningen, dvs högsta derivatan i ekvationen är förstaderivatan. Det är också vanligt med ekvationer av andra ordningen men eftersom vi fortfarande är i ett "introduktionsstadium" så gör det inte så mycket att vi väntar med dom.
Det som hänt är att klassen jobbat med Eulers stegmetod som är en numerisk lösningsmetod för vissa differentialekvationer. Den här typen av metoder är väldigt viktiga inom många områden även om just Eulers metod är den enklaste. Vanligt är att man använder mer avancerade varianter av den, till exempel Runge-Kutta 4, men som introduktion till detta område fungerar den utmärkt.
Sen har klassen också studerat olika typer av differentialekvationer och hur de fungerar som matematiska modeller för verkliga situationer. Det har varit:
- Enkla förändringsmodeller (sid 170-171)
- Blandningsproblem (172-173)
- Avsvalning (174)
- Fritt fall med luftmotstånd (175)
- Tillväxt med begränsningar (176-177)
Alla dessa ekvationer är av första ordningen, dvs högsta derivatan i ekvationen är förstaderivatan. Det är också vanligt med ekvationer av andra ordningen men eftersom vi fortfarande är i ett "introduktionsstadium" så gör det inte så mycket att vi väntar med dom.
onsdag 23 mars 2011
Föreläsning v12 - Riktningsfält
En "vanlig" ekvation, tex x2+3x-12=0 kan man lösa algebraiskt eller grafiskt/numeriskt. Att lösa den algebraiskt betyder att man så att säga räknar fram vad x måste vara, i det här fallet via kvadratkomplettering eller pq-formeln. Beroende på vilket typ av ekvation man har får man välja lämplig metod. En grafisk lösning kan innebära att man ritar upp grafen och "zoomar in" på nollställena. Det finns också andra numeriska metoder som ger en ungefärlig lösning, tex Newtons metod från CD-kursen.
Fördelen med en grafisk/numerisk lösning bland annat att man kan lösa ekvationer som är svåra eller omöjliga att lösa exakt algebraiskt. En nackdel är att lösningen blir ungefärlig och att det kan krävas många beräkningar för att få högre noggrannhet.
På liknade sätt är det för differentialekvationer. Det finns exaktaanalytiska lösningar och det finns grafiska/numeriska lösningar. I båda fallen får man välja metod beroende på vilken typ av diffekvation man har.
Den här veckan ägnar vi oss åt riktningsfält som är ett elegant sätt att illustrera differentalekvationer som också fungerar för att hitta lösningskurvor. Jag skall inte gå igenom något här men läs och öva i boken på sidorna 160-163. Prova också den här appleten där man kan rita upp olika riktningsfält och sen klicka där man vill ha ett villkor för en uppritning av en lösningskurva.
Att läsa
Boken sid 160-163
Att göra
Riktningsfältsapplet här.
Fördelen med en grafisk/numerisk lösning bland annat att man kan lösa ekvationer som är svåra eller omöjliga att lösa exakt algebraiskt. En nackdel är att lösningen blir ungefärlig och att det kan krävas många beräkningar för att få högre noggrannhet.
På liknade sätt är det för differentialekvationer. Det finns exaktaanalytiska lösningar och det finns grafiska/numeriska lösningar. I båda fallen får man välja metod beroende på vilken typ av diffekvation man har.
Den här veckan ägnar vi oss åt riktningsfält som är ett elegant sätt att illustrera differentalekvationer som också fungerar för att hitta lösningskurvor. Jag skall inte gå igenom något här men läs och öva i boken på sidorna 160-163. Prova också den här appleten där man kan rita upp olika riktningsfält och sen klicka där man vill ha ett villkor för en uppritning av en lösningskurva.
Att läsa
Boken sid 160-163
Att göra
Riktningsfältsapplet här.
torsdag 17 mars 2011
Föreläsning vecka 11 - Analytiska lösningar av DE
En differentialekvation kan kanske lösas analytiskt (exakt) om man har tur. Går inte det använder man någon numerisk metod, vilket vi kommer till nästa vecka. Men denna vecka ägnar vi oss åt exakta lösningsmetoder vilka det finns många olika av, beroende på vilken typ av DE man har.
Den här lektionen lär vi oss först hur man löser ekvationer av typen y' + ay = 0
(Denna ekvation är homogen, dvs högerledet är lika med noll om man samlar y och dess derivator till vänster. Om högerledet är en konstant eller en funkton av x kallas ekvationen för inhomogen. I den här kursen väljer vi att hoppa över exakta lösningar av den typen av ekvationer, men det står så fint så i boken för den som är intresserad.)
Vi går igenom hur man kommer fram till en allmän lösning men det är okej att kika direkt i formelsamlingen och plocka lösningen därifrån.
Den andra (och sista) typen av ekvationer vi tittar på är de som kallas separabla. För att lösa en sådan "separerar" man först variablerna, vilket innebär att man skrivet allt med y på ena sidan och allt med x på andra. I boken är detta beskrivet lite långrandigt och på två lite olika sätt. Jag rekommenderar att använda dy/dx som beteckning för y' för då kan man "räkna" med dy och dx som vanliga variabler när man separerar ekvationen. Därefter integrerar man båda sidorna för att få funktionen y som ju är lösningen till vår DE. Titta på genomräknade exempel i filmerna nedan eller i boken för att se hur det går till.
Först ett klipp från Matteskolan där läraren först diskuterar separabla ekvationer allmänt och sen visar ett exempel:
Sen två klipp från amerikanen PatrickJMT som också visar separabla:
Att läsa
Boken sid 148-151, 155-156
Den här lektionen lär vi oss först hur man löser ekvationer av typen y' + ay = 0
(Denna ekvation är homogen, dvs högerledet är lika med noll om man samlar y och dess derivator till vänster. Om högerledet är en konstant eller en funkton av x kallas ekvationen för inhomogen. I den här kursen väljer vi att hoppa över exakta lösningar av den typen av ekvationer, men det står så fint så i boken för den som är intresserad.)
Vi går igenom hur man kommer fram till en allmän lösning men det är okej att kika direkt i formelsamlingen och plocka lösningen därifrån.
Den andra (och sista) typen av ekvationer vi tittar på är de som kallas separabla. För att lösa en sådan "separerar" man först variablerna, vilket innebär att man skrivet allt med y på ena sidan och allt med x på andra. I boken är detta beskrivet lite långrandigt och på två lite olika sätt. Jag rekommenderar att använda dy/dx som beteckning för y' för då kan man "räkna" med dy och dx som vanliga variabler när man separerar ekvationen. Därefter integrerar man båda sidorna för att få funktionen y som ju är lösningen till vår DE. Titta på genomräknade exempel i filmerna nedan eller i boken för att se hur det går till.
Först ett klipp från Matteskolan där läraren först diskuterar separabla ekvationer allmänt och sen visar ett exempel:
Sen två klipp från amerikanen PatrickJMT som också visar separabla:
Att läsa
Boken sid 148-151, 155-156
torsdag 10 mars 2011
Laboration onsdag vecka 10
Så var vi igång igen efter lovet, och nu börjar vi med differentialekvationer, äntligen!
Dagens övning följer bokens inledande laboration på sidan 139. Vi låter varmt kaffe svalna i isvatten och registrerar tid och temperatur. När vi plottar data så ser vi (som förväntat kanske) att temperaturen sjunker på ett sätt som ser exponentiellt ut. (Har inte tillgång till våra data i skrivande stund men snart kommer en graf här.)
Newton studerade detta (inte med kaffe, eller ...) och fann att avsvalningen kan beskrivas med följande matematiska modell:
Förändringshastigheten av en kropps temperatur är proportionell mot skillnaden mellan kroppens temperatur och omgivningens temperatur.
För att kunna jobba vidare med det här vore det bra om vi kunde formulera oss på "matematiska" och skriva detta som en ekvation eller nåt. Ett viktigt tips är att om man hör ordet "proportionell mot" skall man genast tänka "y = kx". Till exempel
Detta kan vi rita upp i en graf - om vi känner till konstanterna A, k och C. Den här gången gjorde vi det genom ett par smarta resonemang som jag inte hinner berätta om nu. Kanske i en uppdaterad variant av detta inlägg.
Titta gärna på nedanstående film från "Matteskolan på Youtube". Där berättar en lärare om vad en differentalekvation är för något genom att först jämföra den men en "vanlig" ekvation. Sen visar han några exempel på hur man kan komma fram till en sådan ekvation och hur man kan kontrollera vad som är en lösning.
Att läsa
Boken sid
Dagens övning följer bokens inledande laboration på sidan 139. Vi låter varmt kaffe svalna i isvatten och registrerar tid och temperatur. När vi plottar data så ser vi (som förväntat kanske) att temperaturen sjunker på ett sätt som ser exponentiellt ut. (Har inte tillgång till våra data i skrivande stund men snart kommer en graf här.)
Newton studerade detta (inte med kaffe, eller ...) och fann att avsvalningen kan beskrivas med följande matematiska modell:
Förändringshastigheten av en kropps temperatur är proportionell mot skillnaden mellan kroppens temperatur och omgivningens temperatur.
För att kunna jobba vidare med det här vore det bra om vi kunde formulera oss på "matematiska" och skriva detta som en ekvation eller nåt. Ett viktigt tips är att om man hör ordet "proportionell mot" skall man genast tänka "y = kx". Till exempel
- "y är proportionell mot x" kan skrivas y = kx
- "ditt" är proportionell mot "datt" kan skrivas ditt = k * datt
- "T ' är proportionell mot skillnaden mellan T och To" kan skrivas
T ' = k(T - To)
Det sista exemplet är faktiskt Newtons avsvalningslag på matematiska även om man brukar skriva den med ett minustecken framför så att k är positiv. (Se till att du förstår varför den ser ut som den gör - fråga annars!)
T ' = - k(T - To)
Detta är en differentialekvation som karaktäriseras av att en funktions derivata ingår i den. I det här fallet är funktionen förstås temperaturen T och dess derivata är T '. (Här ingår alltså både T och T ')
Lösningen till en differentialekvation är själva funktionen. Dvs, om vi kan lösa ekvationen så får vi funktionen T och alltså vet vi vad som kommer att ske med temperaturen! Hur man löser diffekvationer kommer vi att ta upp inom kort men nu nöjer vi oss med att helt enkelt tala om vad lösningen är:
T = A e-kt + C
Detta kan vi rita upp i en graf - om vi känner till konstanterna A, k och C. Den här gången gjorde vi det genom ett par smarta resonemang som jag inte hinner berätta om nu. Kanske i en uppdaterad variant av detta inlägg.
Titta gärna på nedanstående film från "Matteskolan på Youtube". Där berättar en lärare om vad en differentalekvation är för något genom att först jämföra den men en "vanlig" ekvation. Sen visar han några exempel på hur man kan komma fram till en sådan ekvation och hur man kan kontrollera vad som är en lösning.
Att läsa
Boken sid
fredag 25 februari 2011
PROVET KLART!
Nu är ännu ett prov avklarat. Fortfarande svårt förstås, vi är ju bara halvvägs genom kursen men alla som gjort ett seriöst försök har garanterat lärt sig mycket. Jag vidhåller också med en dåres envishet att man inte skall låta sig nedslås av ett sämre resultat. Ta det bara som en liten tankeställare och uppmaning att kanske träna lite mer matematik framöver.
Provet hade tre uppgifter från kapitel 1 - viktigt att man kan dom!
Det allra viktigaste från kapitel 2 och det enda egentligen som vi kräver att ni skall hantera är rotationsvolymer. Då speciellt skivmetoden kring x-axeln. Det var uppgift 4 och 6 på provet, även om 6:ans viktigaste poäng var beviset. I övrigt på kapitel två har vi tittat på implicit derivering (uppgift 5) och förändringshastigheter och kedjeregeln (uppgift 7).
Uppgift 8 var en med lite allmänt mattetänk. Just den här grejen att se vad som är konstant och att baka in det i en annan konstant är en vanlig teknik i lite högre matteutbildning än gymnasiet.
Vi har gjort lösningsförslag till uppgifterna 4-8. Resten gör vi klart någon annan gång ....
Ni hittar det jag hittills gjort här och i menyn här till höger!
Trevligt lov!
Provet hade tre uppgifter från kapitel 1 - viktigt att man kan dom!
Det allra viktigaste från kapitel 2 och det enda egentligen som vi kräver att ni skall hantera är rotationsvolymer. Då speciellt skivmetoden kring x-axeln. Det var uppgift 4 och 6 på provet, även om 6:ans viktigaste poäng var beviset. I övrigt på kapitel två har vi tittat på implicit derivering (uppgift 5) och förändringshastigheter och kedjeregeln (uppgift 7).
Uppgift 8 var en med lite allmänt mattetänk. Just den här grejen att se vad som är konstant och att baka in det i en annan konstant är en vanlig teknik i lite högre matteutbildning än gymnasiet.
Vi har gjort lösningsförslag till uppgifterna 4-8. Resten gör vi klart någon annan gång ....
Ni hittar det jag hittills gjort här och i menyn här till höger!
Trevligt lov!
Prenumerera på:
Kommentarer (Atom)