Föreläsning v12 - Riktningsfält

En "vanlig" ekvation, tex x²+3x-12=0 kan man lösa algebraiskt eller grafiskt/numeriskt. Att lösa den algebraiskt betyder att man så att säga räknar fram vad x måste vara, i det här fallet via kvadratkomplettering eller pq-formeln. Beroende på vilket typ av ekvation man har får man välja lämplig metod. En grafisk lösning kan innebära att man ritar upp grafen och "zoomar in" på nollställena. Det finns också andra numeriska metoder som ger en ungefärlig lösning, tex Newtons metod från CD-kursen.

Fördelen med en grafisk/numerisk lösning bland annat att man kan lösa ekvationer som är svåra eller omöjliga att lösa exakt algebraiskt. En nackdel är att lösningen blir ungefärlig och att det kan krävas många beräkningar för att få högre noggrannhet.

På liknade sätt är det för differentialekvationer. Det finns exaktaanalytiska lösningar och det finns grafiska/numeriska lösningar. I båda fallen får man välja metod beroende på vilken typ av diffekvation man har.

Den här veckan ägnar vi oss åt riktningsfält som är ett elegant sätt att illustrera differentalekvationer som också fungerar för att hitta lösningskurvor. Jag skall inte gå igenom något här men läs och öva i boken på sidorna 160-163.  Prova också den här appleten där man kan rita upp olika riktningsfält och sen klicka där man vill ha ett villkor för en uppritning av en lösningskurva.

Att läsa
Boken sid 160-163

Att göra
Riktningsfältsapplet här.

Föreläsning vecka 11 - Analytiska lösningar av DE

En differentialekvation kan kanske lösas analytiskt (exakt) om man har tur. Går inte det använder man någon numerisk metod, vilket vi kommer till nästa vecka.  Men denna vecka ägnar vi oss åt exakta lösningsmetoder vilka det finns många olika av, beroende på vilken typ av DE man har.

Den här lektionen lär vi oss först hur man löser ekvationer av typen     y' + ay = 0

(Denna ekvation är homogen, dvs högerledet är lika med noll om man samlar y och dess derivator till vänster. Om högerledet är en konstant eller en funkton av x kallas ekvationen för inhomogen. I den här kursen väljer vi att hoppa över exakta lösningar av den typen av ekvationer, men det står så fint så i boken för den som är intresserad.)

Vi går igenom hur man kommer fram till en allmän lösning men det är okej att kika direkt i formelsamlingen och plocka lösningen därifrån.

Den andra (och sista) typen av ekvationer vi tittar på är de som kallas separabla. För att lösa en sådan "separerar" man först variablerna, vilket innebär att man skrivet allt med y på ena sidan och allt med x på andra.  I boken är detta beskrivet lite långrandigt och på två lite olika sätt. Jag rekommenderar att använda dy/dx som beteckning för y' för då kan man "räkna" med dy och dx som vanliga variabler när man separerar ekvationen.  Därefter integrerar man båda sidorna för att få funktionen y som ju är lösningen till vår DE. Titta på genomräknade exempel i filmerna nedan eller i boken för att se hur det går till.

Först ett klipp från Matteskolan där läraren först diskuterar separabla ekvationer allmänt och sen visar ett exempel:



Sen två klipp från amerikanen PatrickJMT som också visar separabla:






Att läsa
Boken sid 148-151, 155-156

Laboration onsdag vecka 10

Så var vi igång igen efter lovet, och nu börjar vi med differentialekvationer, äntligen!

Dagens övning följer bokens inledande laboration på sidan 139. Vi låter varmt kaffe svalna i isvatten och registrerar tid och temperatur. När vi plottar data så ser vi (som förväntat kanske) att temperaturen sjunker på ett sätt som ser exponentiellt ut. (Har inte tillgång till våra data i skrivande stund men snart kommer en graf här.)

Newton studerade detta (inte med kaffe, eller ...) och fann att avsvalningen kan beskrivas med följande matematiska modell:

Förändringshastigheten av en kropps temperatur är proportionell mot skillnaden mellan kroppens temperatur och omgivningens temperatur.

För att kunna jobba vidare med det här vore det bra om vi kunde formulera oss på "matematiska" och skriva detta som en ekvation eller nåt. Ett viktigt tips är att om man hör ordet "proportionell mot" skall man genast tänka "y = kx". Till exempel

• "y är proportionell mot x" kan skrivas y = kx
  
• "ditt" är proportionell mot "datt" kan skrivas ditt = k * datt
  
• "T ' är proportionell mot skillnaden mellan T och To" kan skrivas
  T ' = k(T - To)

Det sista exemplet är faktiskt Newtons avsvalningslag på matematiska även om man brukar skriva den med ett minustecken framför så att k är positiv. (Se till att du förstår varför den ser ut som den gör - fråga annars!)

T ' = - k(T - To)

Detta är en differentialekvation som karaktäriseras av att en funktions derivata ingår i den. I det här fallet är funktionen förstås temperaturen T och dess derivata är T '. (Här ingår alltså både T och T ')

Lösningen till en differentialekvation är själva funktionen. Dvs, om vi kan lösa ekvationen så får vi funktionen T och alltså vet vi vad som kommer att ske med temperaturen! Hur man löser diffekvationer kommer vi att ta upp inom kort men nu nöjer vi oss med att helt enkelt tala om vad lösningen är:

T = A e^-kt + C 

Detta kan vi rita upp i en graf - om vi känner till konstanterna A, k och C. Den här gången gjorde vi det genom ett  par smarta resonemang som jag inte hinner berätta om nu. Kanske i en uppdaterad variant av detta inlägg.

Titta gärna på nedanstående film från "Matteskolan på Youtube". Där berättar en lärare om vad en differentalekvation är för något genom att först jämföra den men en "vanlig" ekvation. Sen visar han några exempel på hur man kan komma fram till en sådan ekvation och hur man kan kontrollera vad som är en lösning.



Att läsa
Boken sid